Mandelbrot set

Image 7

Mandelbrot set ( / m æ n d əl b r ɒ t / ) adalah himpunan dari bilangan kompleks {\gaya tampilan c}C yang fungsinya {\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c}{\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c}tidak menyimpang hingga tak terhingga ketika iterasi dari{\gaya tampilan z=0}z=0, yaitu, yang urutannya {\displaystyle f_{c}(0)}{\displaystyle f_{c}(0)}, {\displaystyle f_{c}(f_{c}(0))}{\displaystyle f_{c}(f_{c}(0))}, dll., tetap dibatasi dalam nilai absolut. Definisinya dikreditkan ke Adrien Douady yang menamakannya sebagai penghormatan kepada matematikawan Benoit Mandelbrot , pelopor geometri fraktal.

Gambar dari Mandelbrot set pameran rumit dan jauh rumit batas yang mengungkapkan progresif pernah-lebih halus rekursif rinci meningkatkan perbesaran, membuat batas Mandelbrot menetapkan kurva fraktal . "Gaya" detail berulang ini bergantung pada wilayah himpunan yang diperiksa. Gambar himpunan Mandelbrot dapat dibuat dengan mengambil sampel bilangan kompleks dan pengujian, untuk setiap titik sampel{\gaya tampilan c,}C, apakah urutannya {\displaystyle f_{c}(0),f_{c}(f_{c}(0)),\dotsc }{\displaystyle f_{c}(0),f_{c}(f_{c}(0)),\dotsc } pergi ke tak terhingga . Mengobati bagian nyata dan imajiner dari{\gaya tampilan c}Csebagai koordinat gambar pada bidang kompleks , piksel kemudian dapat diwarnai sesuai dengan seberapa cepat urutannya{\displaystyle |f_{c}(0)|,|f_{c}(f_{c}(0))|,\dotsc }{\displaystyle |f_{c}(0)|,|f_{c}(f_{c}(0))|,\dotsc }melintasi ambang batas yang dipilih secara sewenang-wenang (ambang batas harus minimal 2, tetapi sebaliknya arbitrer). Jika{\gaya tampilan c}C dipertahankan konstan dan nilai awal {\gaya tampilan z}zbervariasi sebagai gantinya, seseorang memperoleh set Julia yang sesuai untuk titik tersebut{\gaya tampilan c}C.

Himpunan Mandelbrot telah menjadi populer di luar matematika baik untuk daya tarik estetika dan sebagai contoh struktur kompleks yang timbul dari penerapan aturan sederhana. Ini bisa dijadikan sebagai salah satu contoh RPP yang paling terkenal dari visualisasi matematika , keindahan matematika , dan motif untuk para guru pendidik.

Sejarah

Himpunan Mandelbrot berasal dari dinamika kompleks , bidang yang pertama kali diselidiki oleh matematikawan Prancis Pierre Fatou dan Gaston Julia pada awal abad ke-20. Fraktal ini pertama kali didefinisikan dan digambar pada tahun 1978 oleh Robert W. Brooks dan Peter Matelski sebagai bagian dari studi kelompok Kleinian . [2] Pada 1 Maret 1980, di IBM 's Thomas J. Watson Research Center di Yorktown Heights , New York , Benoit Mandelbrot pertama kali melihat visualisasi set. [3]

Mandelbrot mempelajari ruang parameter dari polinomial kuadrat dalam sebuah artikel yang muncul pada tahun 1980. [4] Studi matematika dari Mandelbrot set benar-benar dimulai dengan pekerjaan oleh matematikawan Adrien Douady dan John H. Hubbard (1985), [1] yang mendirikan banyak dari sifat-sifat dasarnya dan diberi nama set untuk menghormati Mandelbrot atas karyanya yang berpengaruh dalam geometri fraktal .

Matematikawan Heinz-Otto Peitgen dan Peter Richter menjadi terkenal karena mempromosikan set dengan foto, buku (1986), [5] dan pameran tur internasional dari Goethe-Institut Jerman (1985). [6] [7]

Artikel sampul Scientific American Agustus 1985 memperkenalkan algoritma untuk menghitung himpunan Mandelbrot kepada khalayak luas . Sampul menampilkan gambar yang terletak di 0.909 + 0.275 i dan dibuat oleh Peitgen et al. [8] [9] Set Mandelbrot menjadi terkenal pada pertengahan 1980-an sebagai demo grafis komputer , ketika komputer pribadi menjadi cukup kuat untuk merencanakan dan menampilkan set dalam resolusi tinggi. [10]

Karya Douady dan Hubbard bertepatan dengan peningkatan besar minat dalam dinamika kompleks dan matematika abstrak , dan studi tentang himpunan Mandelbrot telah menjadi inti dari bidang ini sejak saat itu. Daftar lengkap dari semua yang telah berkontribusi pada pemahaman set ini sejak saat itu panjang tetapi akan mencakup Jean-Christophe Yoccoz , Mitsuhiro Shishikura , Curt McMullen , John Milnor dan Mikhail Lyubich . [11] [12]

Definisi Formal

Mandelbrot set adalah himpunan nilai-nilai c di bidang kompleks dimana orbit dari titik kritis z = 0 di bawah iterasi dari peta kuadrat

{\displaystyle z_{n+1}={z_{n}}^{2}+c}z_{{n+1}}={z_{n}}^{2}+c tetap dibatasi . [13] Dengan demikian, bilangan kompleks c adalah anggota dari Mandelbrot set jika, ketika memulai dengan z 0 = 0 dan menerapkan iterasi berulang kali, dengan nilai absolut dari z n sisa-sisa dibatasi untuk semua n > 0.

Misalnya, untuk c = 1, barisannya adalah 0, 1, 2, 5, 26, ..., yang cenderung tak hingga , jadi 1 bukan merupakan elemen dari himpunan Mandelbrot. Di sisi lain, untuk c = 1, barisannya adalah 0, 1, 0, 1, 0, ..., yang terbatas, jadi 1 termasuk dalam himpunan.

Himpunan Mandelbrot juga dapat didefinisikan sebagai lokus keterhubungan dari suatu keluarga polinomial .

Menjadi Materi Pelajaran di Sekolah

Ada banyak mata pelajaran yang ada di kampus, sma, smp, sd dan sederajat yang salah satunya adalah pelajaran matematika. Dari sekian penjelasan tentang Mandelbrot diatas, para guru matematika bisa mengambil pelajaran lebih luas lagi tentang materi ini.

Mungkin materi Mandelbrot bisa dijadikan sebagai contoh untuk para guru dalam menyusun rencana pelaksanaan pembelajaran di sekolah untuk memberikan pengenalan kepada para siswa bahwa matematika adalah pelajaran yang asyik untuk dipelajari.